Как мы решаем задачи


Выше говорилось, что мышление человека неотделимо от разрешения какой-либо проблемы, задачи, от поиска ответа на вопрос. И первый этап решения задачи состоит в точном формулировании ее вопроса, в постановке самой задачи.

Если человек говорит, что он о чем-то думает, а сам не может сказать конкретно, о чем, то в этот момент настоящего мышления у него нет. Ему только кажется, что он думает.

Иногда перед нашим умственным взором проносятся нерасчлененные образы, обрывки фраз — и мы можем быть целиком поглощены ими, воспринимая это как размышление. Особенно часто так бывает при усталости или болезни, при переутомлении. Но если нас спросят: какой вопрос разрешает наша мысль, что мы хотим найти, — то мы не сможем сказать ничего вразумительного, конкретного. И наоборот, умение точно сформулировать вопрос, проблему — это уже начало действительного мышления.

Во многих случаях эти вопросы ставит перед нами сама жизнь или окружающие люди, но в основном это зависит от нас и нашей любознательности. Любознательный человек видит и ставит вопросы там, где у других они не возникают. Умение подмечать в жизни нерешенные вопросы и пытаться решать их — первый признак мыслящего человека.

Второй этап решения задачи — рассмотрение условий, выяснение их состава и точного содержания, как иногда говорят, данных, которые нужно учитывать при поиске ответа на вопрос. Это — трудное дело, и оно не всегда сразу удается.

Для примера попробуем решить такую простую задачу:

«Даны 9 точек (см. рис.). Не отрывая карандаша от бумаги, нужно перечеркнуть их четырьмя прямыми линиями».

Попробуйте выполнить требования задачи. Вот вы сделали одну попытку, другую, третью (см. рис.).

Не получается?!

Из каких же условий вы исходите? «9 точек нужно перечеркнуть четырьмя прямыми, не отрывая карандаша...» — кажется, ваше решение этому удовлетворяет.

Так почему же все-таки у вас не получается?

Рассмотрите чертеж внимательнее, сопоставьте еще раз свое действие с условиями.

Вы проводили линии только внутри квадрата, очерченного точками! Но такого условия в задаче нет. Вы создали его себе сами, подчиняясь особенностям чертежа. Отбросим это невольное ограничение и будем проводить линии вне квадрата — тогда решение можно найти быстро (см. рис.).

Итак, не рассмотрев точных условий задачи, решить ее правильно нельзя. Наиболее распространенными ошибками при этом бывают либо приписывание условиям того, чего в них нет (как в задаче с точками), либо, наоборот, неучет того, что в них содержится. При решении задач об этом следует всегда помнить.

Для проверки своего умения устанавливать точный состав условий попробуйте решить следующие задачи:

1. Из шести спичек постройте 4 равносторонних треугольника со сторонами, равными длине одной спички.

2. Чему равен вес кирпича, если он весит 1 кГ и еще столько, сколько весит половина кирпича? (Ответы даны в конце статьи.)

Выяснив состав условий, мы переходим к третьему, важнейшему этапу решения задачи — к поискам самого ответа. Этот поиск содержит, как правило, две стадии: вначале выдвигается предположение (гипотеза) о возможном ответе, а затем оно проверяется.

Рассмотрим, как решал одну техническую задачу знаменитый русский ученый П. Н. Яблочков. Он долгое время занимался усовершенствованием электрической дуговой лампы. В лампах, применявшихся до изобретения Яблочкова, угли располагались на одной прямой линии горящими концами друг к другу. Постепенно угли сгорали, расстояние между ними увеличивалось, и лампа гасла (см. рис.). Существовало несколько систем регуляторов сближения углей по мере их сгорания, но все они были ненадежны.

Яблочкову довольно долго не удавалось придумать ничего нового, чтобы сохранить постоянным расстояние между углями. Но вот однажды, как рассказывает его биограф, изобретатель сидел за столиком в кафе. Он очень устал после целого дня напряженной работы и теперь, в ожидании обеда, рассеянно и машинально играл карандашом. Случайно он положил его параллельно второму карандашу, лежавшему на бумагах, — и вдруг рассеянность его как ветром сдуло. А что если расположить угли точно так, как эти карандаши — параллельно, — и провести электродугу между ними? Тогда никакого сближения не потребуется и длина дуги будет постоянной (см. рис.).

Яблочков проверил это предположение и после преодоления некоторых технических трудностей убедился в его правильности. Задача была решена.

На первый взгляд кажется, что здесь помог случай. На самом деле это, конечно, не так. Изобретатель много работал над этим вопросом, постоянно думал о нем, и только поэтому простые карандаши связались в его уме с электродами.

Многочисленные исследования процесса мышления при решении задач (учебных, практических, научных) показали, что предположение о ходе решения нередко возникает, когда человек рассматривает какой-либо другой материал. При попытках решить какую-либо задачу у человека создается «предчувствие» того, что должно быть ответом, но что именно — он еще не знает. Однако теперь даже небольшая подсказка со стороны сразу может натолкнуть его на решение. Человек как бы узнаёт в ней то, что ему нужно.

Порой такими подсказками бывают очень далекие от задачи предметы. Вот как было сделано одно открытие немецким химиком прошлого столетия Кекуле. Он долго думал, каким образом изобразить молекулу бензола в виде такой структурной формулы, которая отвечала бы свойствам бензола (его молекула содержит 6 атомов углерода и 6 атомов водорода— С6Н6).

Принцип построения такой формулы был найден Кекуле весьма неожиданно и при своеобразных обстоятельствах. Однажды он увидел клетку с обезьянами. Играя, обезьяны ловили друг друга. Один раз они схватились таким образом, что составили кольцо. Каждая обезьяна одной ногой держалась за клетку, а обеими руками — за другую ногу соседней обезьяны. В этом положении обезьяны и образовали круг. Такое сложное распределение рук и ног животных натолкнуло ученого на мысль: «Вот изображение формулы бензола». И действительно, его молекула может быть представлена в виде кольца с двойными связями атомов углерода (см. рис.). Так возникла в химии новая структурная формула.

Выдвигая предположение о возможном решении, мы часто обращаемся к своему прошлому опыту, к знаниям, приобретенным при решении других задач. Это, конечно, во многом помогает нам: ведь часто задачи бывают сходны, подобны друг другу. Но это же порой и мешает правильно подойти к новой задаче, не позволяет увидеть в ней своеобразное, не шаблонное содержание, требующее особого приема. Решим такую задачу.

«На полке слева направо стоят две книги: в одной 450 страниц, в другой 470. В книгах завелся червь. Он прогрыз их от первой страницы первой книги до последней страницы второй. Сколько всего страниц прогрыз червь?»

Попробуйте быстро решить эту задачу. Что здесь нужно делать и какой получится ответ? Очевидно, 920 страниц — ведь нужно сложить объем первой книги с объемом второй, не так ли?

Многие так и рассуждают, опираясь на свой опыт: «Если имеются две книги, а червь прогрыз их от первой страницы первой книги до последней страницы второй, то значит нужно сложить их объемы». На первый взгляд это будто бы правильно, и вывод, значит, оправдан. Но это верно только на первый взгляд! Вновь, но внимательно прочитайте задачу и представьте себе положение книг. Лучше нарисуйте их или даже возьмите две книги и поставьте слева направо. Проделали это? Догадались, в чем тут дело? Верно: червь прогрыз всего-навсего... только верхнюю крышку переплета первой и нижнюю крышку переплета второй книги! Ведь книги стояли слева направо, и верхняя крышка переплета первой книги соприкасалась с нижней крышкой переплета второй книги (см. рис.).

Ошибка в решении этой задачи типична, она встречается у многих людей, пытающихся решить задачу сразу, схватив условия лишь в общем виде, а в остальном полагаясь на свой прошлый опыт.

Теперь попробуем решить другую задачу. Здесь вам понадобится знание элементарной школьной геометрии.

«Предположим, что вокруг Земли по экватору натянута нить. Ее длина равна окружности Земли. Вторая нить натянута вокруг апельсина (она равна его окружности). К каждой нити присоединили отрезки длиной в один метр. Ясно, что теперь между поверхностями Земли и апельсина и нитями образовалось пространство, своего рода зазор. Какова же величина зазоров вокруг Земли и апельсина? Сравнимы ли эти величины?»

Теперь скажите, каково ваше первое предположение об ответе? Вряд ли мы навяжем вам свое мнение, если сформулируем его так: «Эти зазоры трудно сопоставимы. Что значит один метр, прибавленный к окружности земного шара! В отношении же маленького апельсина этот метр значит очень много. Вокруг Земли зазора почти не будет, а вокруг апельсина он будет большой».

Такой ответ исходит из наглядного представления о размерах земного шара и апельсина. Но если их окружности действительно сильно различны по величине, то в определении зазоров есть принципиальная ошибка. Чтобы ответить на правильно поставленный в задаче вопрос, нужно как раз отвлечься от наглядного сопоставления Земли и апельсина и провести геометрические расчеты. А они приведут совсем к другому ответу.

Как известно из геометрии, длина окружности равна 2πR, где π — постоянная величина, приближенно равная 3,14, a R — радиус окружности. Ясно, что радиусы Земли и апельсина очень различны. Обозначим условно радиус Земли буквой R, а апельсина — r. Тогда окружность Земли будет 2πR, а апельсина — 2πг. Когда к длине каждой окружности прибавили по одному метру нити, они стали соответственно равны: 2kR -f- 1 и 2тсг -f- 1.

При изменении длины окружностей изменились и их радиусы, поэтому-то и образовались зазоры —разница между новыми и старыми радиусами. Вы знаете, что радиус равен длине окружности, деленной на 2тс. Отсюда следует, что но-

о             2тсД + 1

выи радиус окружности для Земли равен —^— >

ФОРМУЛЫ - ФОРМУЛЫ

а для апельсина------^— •

Вычислим разницу между новым и старым радиусами.

Разница для Земли:

И вот вам ответ: разница между новым и старым радиусами окружности для Земли и апельсина будет одинаковой, а именно — метра. Если тс принять приблизительно за 3,0, то 2тс будут равны 6, следовательно, в обоих случаях зазор будет равен м.

Так, строго математическое вычисление позволило верно, с учетом содержания данных условий, решить задачу, которая ошибочно решалась с помощью привычных наглядных представлений.

Таким образом, можно сделать вывод, что при решении задач необходимо проводить точное, строгое и, желательно, математически проверяемое рассуждение. На основе наглядных представлений многие задачи физики, химии и других наук решать очень трудно, а иногда и просто невозможно. Ведь действительные отношения вещей часто не совпадают с тем, как они представляются на первый взгляд. Это нужно всегда помнить при столкновении с новыми, оригинальными задачами и особенно строго проверять первоначальные предположения о возможном ходе решения.

 

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ

1. Прочитав задачу, решающий обычно начинает строить треугольники в одной плоскости — в плоскости стола, хотя условие задачи этого не требует. При этом обнаруживается, что шести спичек для построения четырех треугольников недостаточно. Тогда решающий либо отказывается от задачи, либо пытается выложить треугольники из спичек, сломанных пополам (это, конечно, не соответствует условию задачи).

Решение же очень просто: нужно из трех спичек выложить равносторонний треугольник в плоскости стола, а остальные три спички поставить над ним «шатром» (каждую спичку-под углом к плоскости стола). Получится объемная геометрическая фигура.

2. Вторую задачу обычно решают так: к 1 кГ прибавляют 0,5 кГ (т. е. «половину» веса кирпича), что, конечно, не соответствует действительному решению. Ведь если принять его за правильное, то вес кирпича будет 1,5 кГ, а половина — 0,75 кГ. Тогда согласно условию кирпич должен весить 1 кГ -f- 0,75 кГ, а это противоречит уже найденному числу. При правильном решении задаются вопросом: а какая часть кирпича весит 1 кГ? Ведь если кирпич весит 1 кГ и еще столько, сколько весит половина, то, значит, 1 кГ есть вес другой половины кирпича! Весь кирпич весит 2 кГ.